Connaissance musicale

Le son

Pour une compréhension optimale des mathématiques dans le domaine musical, il est nécessaire de définir un son. Le son est une compression-dépression d’un milieu dû à un mouvement :

  • vibration de cordes, vocales, guitares, piano

  • vibration d’une colonne d’air, saxophone, trompette

  • vibration d’une membrane, tambour, tam-tam, haut-parleur

 Le son se déplace rapidement dans le milieu (exemple : environ 1km/3sec pour l’air). Suivant ce dernier, le signal sonore s’atténue progressivement. Si une oreille ou un micro le reçoit, il va ressentir la pression du milieu et donc le percevoir.

C’est donc un phénomène physique qui se propage. Il en existe d'ailleurs de nombreux autres naturels (tremblements de terre, ondes à la surface de l’eau).

La note

Les sons sont des ondes de formes quelconques. Une note de musique est un son avec une forme d’onde périodique. C’est précisément la variation constante de la compression et de la dépression.

Une note est entièrement définie par quatre paramètres :

  • Sa durée (c’est la longueur dans le temps du son).

  • Son intensité (c’est l’amplitude des variations sonores).

  • Sa hauteur (c’est la fréquence en Hz de la note, par exemple le LA du diapason, utilisé pour accorder les instruments vibre à 440 Hz).

  • Son timbre (c’est la forme de l’onde acoustique. La plus simple correspond à une sinusoïde, mais pour tous les instruments il s’agit d’une forme plus compliquée. C’est grâce au timbre qu’on reconnait le type d’instrument, en effet le do d’une guitare n’a pas la même forme que celui d’un piano). Le timbre est la caractéristique la plus compliquée d’une note, c’est pourquoi, les musiciens utilisent une fonction mathématique pour l’analyser et ensuite pouvoir l'utiliser : la transformée de Fourier.

      On parle de consonances quand plusieurs notes jouées simultanément sont agréables à entendre et de dissonances dans le cas contraire. Deux notes de fréquence fondamentale f1 et f2 sont consonantes si le rapport (f1 /f2) est une fraction de deux nombres entiers. D’autre part si l’on appelle (p/q) ce nombre rationnel, on constate que plus p et q sont petit et plus les notes sont consonantes.

     Comme l’octave est l’intervalle séparant deux sons dont la fréquence fondamentale de l’un vaut le double de la fréquence de l’autre, l’intervalle le plus consonnant est celui qui est à l’octave puisque dans ce cas on a p = 1 et q = 2, ce qui correspond au plus faibles entiers.

Les gammes

Divisée en plusieurs sous-intervalles, l’octave permet de définir les gammes. Dans l’histoire, les gammes ont évolué pour résoudre des problèmes de dissonances. En effet, la première gamme, dite gamme de Pythagore provenant de l’Antiquité comportait des rapports de fréquence dont les entiers étaient élevés, notamment sur l’intervalle (F # et Ré b).

Illustration de la gamme de Do majeur de Pythagore :

 

Notes

Do

Do#

Ré#

Mi

Fa

Fa#

Sol

Sol#

La

La#

Si

(p/q)

1

256 /243

9/8

32/27

81/64

4/3

729/512

3/2

128/81

27/16

16/9

243/128

   On remarque que cette gamme comporte beaucoup de dissonances. De plus il est difficile de transposer les morceaux, c’est-à-dire les jouer plus graves ou plus aigus (passage à la tierce difficile), dans la mesure où les intervalles ne sont pas réguliers.

 

 Pour remédier à cela, la gamme de Zarlino a été inventée au 16eme siècle en prenant en compte le rapport de tierce.

Illustration de la gamme de Do majeur de Zarlino :

 

Notes

Do

Do#

Ré#

Mi

Fa

Fa#

Sol

Sol#

La

La#

Si

(p/q)

1

16 /15

9/8

6/5

5/4

4/3

45/32

3/2

8/5

5/3

9/5

15/8

 

Cependant cette gamme dite naturelle par sa forte consonance (les valeurs des nombres p et q sont nettement plus faible) présente tout de même quelques défauts. En effet, elle privilégie, comme celle de Pythagore certaines tonalités en fonction de la note de départ choisie pour la gamme. Ce qui limite les possibilités de modulation, c’est-à-dire de changement de tonalité au cours d’un morceau.

 Ainsi la gamme tempérée, instaurée au 17eme siècle, a permis de résoudre le problème en divisant l’octave en 12 intervalles égaux appelés demi ton. Dans cette gamme toutes les notes sont légèrement fausses. En effet, pour avoir des intervalles réguliers, la justesse de la quinte et de la tierce ont été légèrement altérée, mais ceci est inaudible.

Illustration de la gamme tempérée de Do majeur :

 

Notes

Do

Do#

Ré#

Mi

Fa

Fa#

Sol

Sol#

La

La#

Si

(p/q)

1

21 /12

22 /12

23 /12

24 /12

25 /12

26 /12

27 /12

28 /12

29 /12

210 /12

211 /12

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