Combinatoire exponentielle:
C’est un système original que l’on peut retrouver notamment dans Cent Mille milliards de poèmes de Raymond Queneau (1961). En effet ce dernier propose au lecteur de constituer des sonnets par l’intermédiaire d’une lecture à choix multiples. Un sonnet étant formé de deux quatrains et d’un tercet. Chaque page dispose de languettes distinctes comprenant chacune un vers différent. Le lecteur peut ainsi laisser libre cours à son imagination et créer son propre poème. Le livre étant composé de dix pages et de quatorze vers par page, on peut si l’on le souhaite, associer le premier vers de la première page avec le deuxième de la cinquième pages et ainsi de suite. Il y a cependant une contrainte car l’ordre des vers restent inchangés en raison de languettes inamovibles. En effet le premier vers de la première page peut-être échangé avec celui de la deuxième en tournant la languette, mais en aucun cas le premier vers de la première page ne peut se retrouver comme troisième de la deuxième page, la languette ne peut se déplacer étant attachée au livre.
Schéma:
Si l’on traduit cela sous forme schématique pour la composition d’un poème, cela nous donne :
Exemple de combinaison possible:
L’ensemble des rectangles disposés verticalement représentent les vers d’une page. Chaque rectangle correspond à un vers. En vert, les vers restent inchangés, en revanche en rouge on prend les vers que l’on veut afin de composer son propre sonnet. Les flèches désignent le choix qui s’offre à nous afin de remplacer un vers d’une page par un autre d’une page différente, mais occupant toujours la même place.
Il serait intéressant de comprendre l’intitulé de l’œuvre Cent Mille milliards de poèmes.Pour cela cherchons le maximum de poèmes réalisables. Si l’on se contente de la première page du livre nous avons d’après le diagramme déjà quatorze choix de poèmes à composer. Sachant que le diagramme peut se répéter à chaque page, on a donc:
|
Numéro de la page |
Nombre de vers par page |
Total de poèmes réalisables de manière croissante en prenant en compte la page qui précède |
|
1 |
14 |
014+114=114 |
|
2 |
14 |
114+114=214 |
|
3 |
14 |
214+114=314 |
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4 |
14 |
314+114=414 |
|
5 |
14 |
414+114=514 |
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6 |
14 |
514+114=614 |
|
7 |
14 |
614+114=714 |
|
8 |
14 |
714+114=814 |
|
9 |
14 |
814+114=914 |
|
10 |
14 |
914+114=1014 |
Ainsi si l’on résume le tableau avec p désignant les 10 pages et v désignant les 14 vers, grâce à ce système de lecture à choix multiples on a, pv soit 1014 possibilités ce qui nous donne cent mille milliards comme le titre de l’œuvre l’indique.
Suite, facteur combinatoire :
Encore plus étonnant l’auteur Marc Saporta a choisi dans son roman intitulé Composizione n. 1 (Composition n°1) de ne pas relier les pages de son récit tel un jeu de carte. Sachant que chacune de ces pages n'est numérotée et met en scène un personnage en action, le lecteur peut ainsi encore une fois donner libre cours à son imagination. C’est-à-dire que l’on peut mélanger les feuilles à son gré car elles peuvent être lues quelque soit l’ordre. De plus cela donne l’occasion de relire un livre tout en ayant une nouvelle histoire et ainsi découvrir un autre point de vue. En effet si une autre personne lit le même roman il serait intéressant de comparer les deux récits et de juger par soi-même le meilleur. Dans ce roman il est question d’une permutation de 150 feuillets qui peuvent être combinés entre eux, on a donc d’après les sources150! = 5,72 × 10262, soit 5,72 × 10262 possibilités de lecture et donc d’histoire différentes.
C’est un classique de la structure mathématique, notamment utilisé dans la lecture par les oulipiens. Le carré latin peut se représenter à l’aide d’un carré composé d’autant de lignes que de colonnes : soit n x n. En effet, chaque case doit être munie d’un symbole ainsi que dans chaque ligne et dans chaque colonne chacun des symboles ne doit apparaitre qu’une seule fois.
Le carré latin est basé sur la sextine lyrique inventée au XIII ème siècle par Arnaut Daniel.
La forme sextine
La ferme volonté qui au cœur m’entre
ne peut ni langue la briser ni ongle
de médisant qui perd à mal dire son âme
n’osant le battre de rameau ni de verge
sinon en fraude là où je n’ai nul oncle
je jouirai de ma joie en verger ou chambre
Quand je me souviens de la chambre
où pour mon mal je sais que nul homme n’entre·
mais tous me sont pires que frère ou qu’oncle·
tremblent tous mes membres jusqu’à l’ongle·
ainsi que fait l’enfant devant la verge
tant j’ai peur de n’être assez sien dans mon âme
Ah que je sois sien dans le corps non dans l’âme
·et qu’elle m’accueille en secret dans sa chambre·
plus me blesse le cœur que coup de verge·
d’être son serf qui là où elle est n’entre·
toujours je serai près d’elle comme chair et ongle·
n’écoutant aucun reproche d’ami ni oncle
Jamais la sœur de mon oncle·
je n’aimerai tant ou plus par mon âme
aussi proche qu’est le doigt de l’ongle·
s’il lui plaisait je voudrais être de sa chambre·
il peut faire de moi l’amour qui en mon cœur entre
à son gré comme homme un fort de faible verge
Depuis qu’a fleuri la sèche verge·
que du seigneur Adam sont nés neveu et oncle·
un amour qui comme celui qui dans mon cœur entre·
je ne crois qu’il a été en corps ni âme
où qu’elle soit sur la place ou dans la chambre·
mon cœur sera moins loin que l’épaisseur d’un ongle
Qu’ainsi s’enracine devienne ongle·
mon cœur en elle comme écorce en la verge
elle m’est de joie tour et palais et chambre
je n’aime tant frère parent ni oncle·
en paradis aura double joie mon âme
si jamais homme, d’avoir aimé y entre
Arnaut envoie sa chanson d’ongle et d’oncle
pour plaire à celle qui de sa verge à l’âme
son Désiré son prix entre en sa chambre
Arnaud Daniel
On remarque que ce poème est constitué de six strophes qui comprennent les mêmes mots à chaque fin de vers bien qu’ils ne soient pas dans le même ordre. De plus le mot qui se trouve à la fin d’une strophe est le même que celui qui finit le premier vers de la strophe suivante : c’est une forme de sextine.
Afin de mieux comprendre la composition de ce poème nous allons le décrypter.
Appelons Ω (oméga) l’ensemble de mots terminant les vers de la première strophe. Dans ce cas présent Ω est définit par les termes suivants :entre,ongle,âme,verge,oncle,chambre .
Par facilité nous remplaçons les mots par la lettre a suivie d’un chiffre qui correspond à leur ordre de passage dans la première strophe.
Soit={a1,…,an}
Ainsi entre=a1,ongle=a2,âme=a3,verge=a4,oncle=a5,chambre=a6.
Comparons les six strophes entres elles :
Strophe 1 : (a1, a2, a3, a4, a5, a6)
Strophe 2 : (a6, a1, a5, a2, a4, a3)
Strophe 3 : (a3, a6, a4, a1, a2, a5)
Strophe 4 : (a5, a3, a2, a6, a1, a4)
Strophe 5 : (a4, a5, a1, a3, a6, a2)
Strophe 6 : (a2, a4, a6, a5, a3, a1)
On remarque que la substitution des mots liants la strophe 1 à la strophe 2 se répète avec les strophes 2-3, 3-4, 4-5, 5-6. Si l’on essaye de trouver une septième strophe en utilisant le même principe, on retombe sur le même ordre que la première soit :( a1, a2, a3 , a4, a5, a6). On appelle s les images de chaque numéros de 1 à 6 . Suivant la première et la seconde strophe on obtient : s=(1 2 3 4 5 6)
(6 1 5 2 4 3)
Nous avons une boucle qui se répète :1→6→3→5→4→2→1.
Explication:
Essayons d’expliquer cette boucle selon les mathématiques. Soit n le nombre de vers par strophe. D’après le poème on sait que n=6. On nomme p le rang de la rime. Queneau a établi une règle afin de prévoir la place qu’occupera la rime dans la prochaine strophe. Elle sera au rang :
→2p si p≤n/2
→2(n-p)+1 si n/2<p≤n
Cette règle doit vérifier des conditions :
-Il faut que la rime revienne pour la première fois à sa place d’origine au bout d’une nième boucle.
-Les rimes ne doivent occuper une fois, et seulement, chacun des rangs constituant une stophe.
D’après le poème nous pouvons voir que ces conditions ont bien été vérifiées par Arnaud Daniel dans son poème. Prenons pour exemple la première rime de la première strophe "entre". Une strophe est constituée de 6 vers, on a donc n=6. Suivant la règle de Queneau p désignant le rang occupant la rime d’origine, on a p=1. Ici p<n/2 car 1<6/2 soit 1<3. Alors "entre" doit occuper le rang 2p dans la deuxième strophe soit 2×1=2. Si l’on vérifie cette position est bien respectée dans le poème. Continuons ce schéma par l’intermédiaire d’un tableau.
|
Strophe |
Rang occupant la rime |
Règle |
Rang nouvellement attribué à la rime pour la strophe suivante |
|
1 |
1 |
2p si p≤n/2 |
1<6/2=1<3 donc on a 2×1=2 |
|
2 |
2 |
2p si p≤n/2 |
2<6/2=2<3 donc on a 2×2=4 |
|
3 |
4 |
2(n-p)+1 si n/2<p≤n |
6/2<4≤6 soit 3<4≤6 donc on a 2(6-4)+1=5 |
|
4 |
5 |
2(n-p)+1 si n/2<p≤n |
6/2<5≤6 soit 3<5≤6 donc on a 2(6-5)+1=3 |
|
5 |
3 |
2p si p≤n/2 |
3≤6/2 soit 3=3 donc on a 2×3=6 |
|
6 |
6 |
2(n-p)+1 si n/2<p≤n |
6/2<6≤6 soit 3≤6 donc on a 2(6-6)+1=1 |
Si il y avait une septième strophe on remarque que la rime revient à sa position initiale soit au premier rang. Ainsi tous les rangs du poème ont été confirmés mathématiquement. Cependant ces règles ne sont valables que pour une certaine longueur de strophes, il existe des exceptions. Les nombres pour lesquels cette boucle fonctionne sont appelés Nombres de Queneau. En voici les premiers d’un long ensemble infini :
1,2,3,5,6,9,11,14,18,23,26,29,30,33,35,39,41,50,51,53,65,69,74,81,86,89,90,95,98,99,105.............
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