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La suite de Fibonnacci

Introduction

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Leonardo Fibonnacci

 

*Par convention, X^(v) signifie X puissance v.

 

Certains poètes utilisent des règles mathématiques pour développer leur art. Par exemple, certains appliquent la suite de Fibonnacci pour écrire des vers. Les poèmes qui en résultent sont appelés des fibs. Pour expliquer ce que sont les fibs, il est donc nécessaire de comprendre la suite de Fibonnacci.

Présentation et démonstration

La suite de Fibonnacci fut écrite au XIIIème siècle par le mathématicien Léonardo Fibonnacci ou Léonardo Pisano. A l'origine, cette célèbre suite d'entiers constituait une réponse au problème récréatif (ou jeu mathématique) des lapins.

Ce problème se présentait ainsi :

"Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence?"

Il est à noter que les lapins ne mourant jamais, la suite de Fibonnacci est strictement croissante.

En effet, voici le début de la suite de Fibonnacci :

1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233-377.....

Les conditions du problème s'expriment ainsi :

-Au début du premier mois on a une unique paire de laperaux

-Au début du troisième mois ces laperaux peuvent procréer

-Tous les débuts de mois, toute paire de laperaux agés de plus de deux mois engendrent une nouvelle paire de laperaux

-Les lapins ne meurent jamais

 

Pour répondre à ce problème on pose F(n) le nombre de couples de lapin au début du mois n.

Donc on a F(1)=1.Or au deuxième mois, le couple est trop jeune pour procréer donc on a F(1)=F(2)=1.

Au début du troisième mois, le couple commence le troisième mois de son existence et donne donc naissance à un nouveau couple de lapins. Ainsi F(3)=2. Mais pour répondre à ce jeu mathématique, il faut trouver une formule mathématique capable de satifaire les conditions du problème quelque soit le mois auquel on se place. Soit n le mois, alors n+2 désigne deux mois plus tard. Donc F(n+2) = Fn + les laperaux venant de naitre. Or les lapins nés pendant F(n+1) sont trop jeunes pour engendrer. On a F(n+2)=F(n) + F(n+1).

Par exemple, si n=8, on a F(n)= 21. Quand n=9, F(n)=34. Lorsque n=10, tous les lapins déjà nés quand n=8 sont présents et engendrent un nouveau couple, mais il faut ajouter à cela les lapins nés pendant le neuvième mois qui sont encore incapables d'engendrer. Donc on a F10=21+34 =55 où 34 représente le nombre de lapins engendrés pendant le neuvième mois et le nombre de lapins déja présents. Or ce nombre a déjà été compté, donc c'est le nombre de couples de laperaux à qui ils donnent naissance pendant le dixième mois. Ainsi chaque nombre de la suite de Fibonnacci est la somme des deux précédents. La suite de Fibonnacci obéit effectivement à une formule de récurrence. Il est plus simple d'illustrer cela par un schéma :

1. E

2.A

3.AE

4. AEA

5. AEAAE

6. AEAAEAEA

7. AEAAEAEAAEAAE

Schéma de l'évolution de la population des lapins

Légende :

A : Lapin adulte

E : Lapin enfant

Les numéros correspondent aux mois.

Propriétés

La suite de Fibonnacci possède plusieurs propriétés.

Première propriété :

Après le premier mois, soit quand n est supérieur ou égal à 1, F(n+1)=F(n)+F(n-1) et F(n)=F(n+1)-F(n-1)

Deuxième propriété :

La somme de 10 termes consécutifs de la suite de Fibonnacci est égale au produit du septième terme par 11.

Soit F(n)=a et F(n+1)=b, alors :

F(n+2)=a+b

F(n+3)=a+2b

F(n+4)=2a+3b

F(n+5)=3a+5b

F(n+6)=5a+8b

F(n+7)=8a+13b

F(n+8)=13a+21b

F(n+9)=21a+34b

 

On a : F(n)+F(n+1)+F(n+2)...+F(n+9)=a+b+a+b+a+2b+2a+3b+3a+5b+5a+8b+8a+13b+13a+21b+21a

+34b=55a+88b=11(5a+8b)=11 F(n+6)

 

Troisième propriété :

 

La somme de tous les F précédant F(n) est égale à F(n+2)-1.

C'est-à-dire que F(0)+F(1)+F(2)+F(3)...+F(n)+1=F(n+2).

Exemple, 0+1+1+2+3+5+8+13+1=34.

 

Nous allons démontrer cette propriété par hérédité.

 

Initiation :

Soit S(n) = F(0)+F(1)+F(2)+F(3)+F(4)....+F(n)+1 pour n strictement supérieur à 2 et P(n) la proposition selon laquelle S(n) = F(n+2) pour n strictement supérieur à 2.

On suppose P(n) vraie.

 

Hérédité :

Or, si P(n) est vraie, on a :

S(n+1)=F(0)+F(1)+F(2)+F(3)...+F(n)+F(n+1)+1

S(n+1)=F(0)+F(1)+F(2)+F(3)...+F(n)+1+F(n+1)

S(n+1)=S(n)+F(n+1)

Or S(n)=F(n+2)

S(n+1)=F(n+2)+F(n+1)

S(n+1)=F(n+3)

S(n+1)=F((n+1)+2)

Donc P(n+1) est toujours vraie quand P(n) est vraie, et par le principe d'hérédité, la propriété est prouvée.

 

Quatrième propriété:

 

La somme de F(1) et de tous les F(a)ou a est un entier pair inférieur ou égal à 2n est égale à F(2n+1).

Par exemple, si n est égale à 7, on a :

F(1)+F(0)+F(2)+F(4)+F(6)+F(8)+F(10)+F(12)+F(14) (car 14 =2 fois7) =F(14+1)=F(15)

 

On veut prouver cette propriété par le principe d'hérédité :

 

Initiation

Soit S(n)=F(1)+F(0)+F(2)....+F(2n) pour n strictement supérieure à 1 et P(n) la proposition selon laquelle S(n)=F(2n+1) pour n strictement supérieure à 1.

On sait que P(n) est vraie pour n=1.

On suppose P(n) vraie pour un entier n supérieure à 1.

 

Hérédité

Or, si P(n) est vraie, on a :

S(n+1)=F(0)+F(1)+F(2)+F(4)...+F(2n)+F(2n+2)

S(n+1)=F(2n+1)+F(2n+2)

S(n+1)=F(2n+3)

S(n+1)=F(2(n+1)+1)

Donc P(n+1) est vraie quand P(n) est vraie et grâce au principe d'hérédité, la propriété est prouvée.

La suite de Fibonacci et le nombre d'or

Le nombre d'or est le rapport d'équilibre entre les différentes parties d'un corps.

Nous voulons démontrer que F(n+1)/F(n) tend vers le nombre d'or :

 

Soit E l'ensemble des suites F(n) où F(n+2)=F(n+1)+F(n), c'est-à-dire l'ensemble des suites de Fibonnacci.

Soit A(n) et B(n) des suites de l'ensemble E.

Soit S(n) une suite de l'ensemble E tel que S(n)= λA(n)+µB(n) où  λ  vet µ sont des réels.

On cherche les suites géométriques A(n) qui correspondent à des suites de Fibonnacci de raison r telles que A(n)=A(0)r^(n)

On sait que A(n+2)=A(n+1)+A(n)

Donc on a A(0)r^(n+2)=A(0)r^(n+1)+A(0)r^(n)

 

A(0)r^(n+2)-A(0)r^(n+1)-A(0)r^(n)=0

A(0)r^(n) (r²-r-1)=0

 

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

 

Donc A0=0 ou r=0 ou r²-r-1=0

Or, si A0=0 ou r=0, la suite est nulle donc on a A0 différent de 0 et r différent de 0.

On en déduit que r²-r-1=0.

Cette équation est un polynôme du second degré où a=1, b= -1 et c= -1.

∆=b²-4ac

∆=(-1)²-4*1*-1

∆=5 (>0)

 

L'équation admet donc deux solutions réelles distinctes:

 

r1=(-b+ √∆)/2a et r2=(-b- √∆)/2a

r1=(1+ √5)/2 et r2=(1- √5)/2

 

Or, r1 est le nombre d'or, c'est-à-dire, (1+ √5)/2.

 

Ainsi, on a :

A(n)=A(0) ((1+√5)/2)^(n) et B(n)=B(0) ((1-√5)/2)^(n)

Donc A(n)=(1+ √5)/2 =r1 et B(n)=(1- √5)/2=r2

 

En conséquence, F(n)= λA(n)+µB(n) où  λet µ sont des réels est également une suite appartenant à E.

Donc on veut F(0)=0 et F(1)=1.

 

F(0)= λA(0)+µB(0) =1 λ+1µ= λ+µ

Or F(0)=0 si et seulement si  λ+µ=0, si et seulement si, µ=- λ

F(1)=λA(1)+µB(1)=λA(1)-λB(1)

Or A(n)=A(0)((1+√5)/2)^(n) et B(n)=B(0)((1- √5)/2)^(n)

Donc A(1)=A(0) ((1+√5)/2)^(1) et B(1)=B(0) ((1- √5)/2)^(1)

F(1)= λA(0)((1+√5)/2)^(1)- λB(0)((1- √5)/2)^(1)

F(1)=λ((1+ √5)/2)-λ((1- √5)/2)

 

Or F(1)=1 si et seulement si,  λ((1+ √5)/2)- λ((1- √5)/2)=1

Si et seulement si,  λ( (1+ √5)/2 – (1- √5)/2) =1

λ √5=1

 

 

 

λ=1/ √5

λ= √5/5

 

Or  μ=- λ,  μ=-√5/5

 

F(n+1)/F(n)=λ r(1)^(n+1) + μr(2)^(n+1)/ λ r(1)^(n) + μ r(2)^(n)= λr(1)^(n+1) - λr(2)^(n+1)/ λr(1)^(n) - λr(2)^(n)

=r(2)^(n+1)-r(1)^(n+1)/r(2)^(n)-r(1)^(n)=(r(2)(r(2)/r(1))^(n)-r(1))/ ((r(2)/r(1))^(n)-1)

r(2)/r(1)=(1-√5)/(1+√5)

r(2)/r(1)=(1- √5)²/( (1+ √5) (1- √5) )

r(2)/r(1)= (1-2 √5+5)/(1-5)

r(2)/r(1)=( √5-3)/2

 

Soit q=r(2)/r(1)

q appartient donc à l'intervalle ]-1;1[

Donc lim q^(n)=0 quand  n→+∞

Donc F(n+1)/F(n) tend vers r(2) donc F(n+1)/F(n) tend vers le nombre d'or.

 

Fibs

Les fibs sont des poèmes qui s'appuient sur la suite de Fibonnacci. En effet, chaque vers des fibs est composé d'un nombre précis de syllabes. Les vers correspondent à n,c'est-à-dire que le premier vers correspond à n=1, le second à n=2, etc.,et le nombre de syllabes à F(n). Ainsi le premier vers d'un fib est composé d'une seule syllabe, de même que le deuxième. Le troisième vers, quant à lui, contient obligatoirement deux syllabes. Ainsi chaque vers contient la somme des nombres de syllabes des deux vers précédents. Il est à noter que la suite de Fibonnacci commence par un zéro. En conséquence, le premier vers d'un fib correspond à F(n)=0. Pour respecter cette règle, il est nécéssaire d'observer un temps de silence au début de chaque fib.

On doit également remarquer que la suite de Fibonnacci atteint rapidement des nombres très élevés :

0-1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233-377-610-987-1597-2584-4181-6765...

Il serait difficile d'écrire des vers de 144 ou même de 21 syllabes, c'est pourquoi les fibs sont contraints d'observer une taille réduite. La majorité se contentent de 6 ou 7 vers.

Nous avons pu constater au cours de nos recherches que la majorité des fibs contiennent une morale ou font de simples observations. Par là, ils peuvent se rapprocher des haïkus japonais.

 

Il existe peu d'auteurs spécialisés dans les fibs, ce qui explique leur peu de notoriété. La plupart des auteurs comme Marc Lebel et LeRoy K. May se servent d'internet pour les rendre publics.

 

La

Pluie

De mai

Aujourd'hui

A mis mon jardin

Dans la tristesse de l'automne

 

Fib de printemps, Marc Lebel

Il est à noter que dans ce fib, la dernière syllabe est muette et n'est donc pas comptée.

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